ทำไมคลื่นของเดอเบรยต้องเป็นห่อคลื่น (wave packet)

ลองดูตัวอย่างคลื่น sine wave ข้างล่าง ซึ่งไม่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มีนักศึกษาคนหนึ่งพยายามพิสูจน์ว่า สมการเดอเบรย    ผิด!!
ในการพิสูจน์ เขาใช้สูตร 3 สูตร คือ  v  =  f , E  =  hf   และ  E  =  (1/2)mv²  ดังนี้

           =   v/f   =   vh/E   =   vh/(1/2)mv²  =   2h/mv   =   2h/p

เห็นหรือยังว่า  =  2h/p  ไม่ใช่     =  h/p   แสดงว่าสมการเดอเบรยผิด !!! 

ความจริง นักศึกษาคนนั้นน่ะแหละผิด........ผิดยังไง??
ที่ผิดเพราะ แม้ sine wave เป็นคลื่นที่มีความยาวคลื่นและความถี่คลื่นที่ระบุได้แน่นอน แต่ไม่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด
ดังนั้น เราบอกไม่ได้ว่ามันเคลื่อนที่ (พร้อมกับส่งผ่านสมบัติต่างๆ เช่น มวล พลังงาน โมเมนตัม เป็นต้น) เข้าไปหรือออกมา
จากบริเวณใดบริเวณหนึ่งด้วยความเร็วเท่าใด  ไม่รู้ว่าเริ่มต้นเคลื่อนที่จากจุดไหนและไปสิ้นสุดที่จุดไหน พูดง่ายๆว่า เราไม่
สามารถระบุความเร็วของคลื่นได้นั่นเอง ค่า v ที่นักศึกษาคนนี้ใช้แทนในสูตรต้องบอกได้ว่า เป็นความเร็วที่ sine wave
เคลื่อนที่จากจุดไหนไปยังจุดไหน

ดังนั้น คลื่นเดอเบรยต้องไม่ใช่คลื่นบริสุทธิ์แบบเดียวกับ sine wave แต่เป็นคลื่นที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่แน่นอน
คลื่นแบบนี้เกิดจากการรวมกัน (superposition) ของคลื่นบริสุทธิ์ที่มีความยาวคลื่นต่างกันมากกว่า 1 คลื่นได้เป็นกลุ่ม
ของคลื่นที่เรียกว่า ห่อคลื่น (wave packet) ดังรูป



สำหรับห่อคลื่น 1 คลื่น เวลามันเคลื่อนที่จะมีความเร็ว 2 แบบ คือ
แบบที่1: ความเร็วเฟส (v_p) เป็นความเร็วของยอดคลื่น (ค่าที่นักศึกษาคนนั้นใช้แทนในสูตร)
แบบที่2: ความเร็วกลุ่ม (v_g) เป็นความเร็วของห่อคลื่นทั้งห่อซึ่งเป็นค่าเดียวกับความเร็วที่สมบัติต่างๆ เช่น โมเมนตัม
             พลังงานใช้ในการเคลื่อนที่

ตัวอย่าง
ถ้าห่อคลื่นเกิดจาก superposition ของ sine wave 2 คลื่นที่มีความถี่ 100 Hz และ 110 Hz (ความถี่ต่างกัน 10%)

       ความถี่ของห่อคลื่น (แสดงด้วยเส้นสีน้ำเงิน)  =  ผลต่างของความถี่คลื่นทั้งสอง ( )
                                                                      =  110 Hz -  100 Hz  =  10 Hz
       ส่วนความยาวคลื่นของห่อคลื่น จะไม่ใช้ แบบเดียวกับคลื่นบริสุทธิ์  แต่จะนิยาม
       ตัวแปรตัวใหม่ คือ  z  =  1/  
       ดังนั้น ทำนองเดียวกับความถี่ของห่อคลื่น;  ค่า z ของห่อคลื่น   =  ผลต่างของค่า z
       ของคลื่นทั้งสอง (  )













การพิสูจน์ว่า ความเร็วของห่อคลื่นเท่ากับความเร็วของอนุภาค
จาก  v  =  f ,  สำหรับห่อคลื่นจะได้ว่า  
ถ้า  และ  มีค่าน้อย;  สมการจะกลายเป็น    
จากสมการของพลังค์  f  =  E/h  และสมการเดอเบรย  z  =  p/h  แทนลงในสมการข้างบนจะได้   
สำหรับอนุภาค เช่น อิเล็กตรอน  E  =  p²/2m
ดังนั้น      =        =    p/m   =   mv/m   =   v

ข้อสังเกต:
ในที่นี้ เราใช้ความเร็วห่อคลื่นในการพิสูจน์ ไม่ใช่ความเร็วเฟส  ถ้าใช้ความเร็วเฟสแบบเดียวกับที่นักศึกษาคนนั้นทำ
จะได้  z  =  p/2h   แทนที่จะเป็น  z  =  p/h  ทำให้ได้     และในที่สุด จะได้  v_g  =  2v
การที่เราไม่ใช้ความเร็วเฟส เพราะค่าความเร็วเฟสไม่มีความหมายทางกายภาพ ไม่ได้ให้ข้อมูลอะไรเกี่ยวกับการ
เปลี่ยนแปลงสมบัติของอนุภาคในขณะเคลื่อนที่ ไม่ว่าจะเป็นพลังงานหรือโมเมนตัม

เปลวเทียนให้แสง รามคำแหงให้ทาง