ฟังก์ชันคลื่นและสมการชเรอดิงเงอร์

ที่มาของฟังก์ชันคลื่น
ความจริง ก่อนหน้าที่เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก เสนอหลักความไม่แน่นอนประมาณ 2 ปี คือ ราวเดือนมิถุนายน ค. ศ. 1925
เขาได้ค้นพบหลักกลศาสตร์เมทริกซ์ ซึ่งในขณะนั้นเขาไม่รู้ว่านี่คือ กลศาสตร์เมทริกซ์ รู้แต่เพียงว่า ตามความคิดแบบ
ดั้งเดิม ถ้าให้ p แทนโมเมนตัม และ q แทนการกระจัดจากตำแหน่งสมดุล ผลคูณ pq ต้องเท่ากับ qp  หรือ  pq - qp = 0
ซึ่งเป็นไปตามกฎการสลับที่พื้นฐานของการคูณ แต่หากต้องการอธิบายโครงสร้างอะตอมตามทฤษฎีของโบร์และ
อธิบายการเกิดสเปกตรัมอะตอมได้ถูกต้อง จะต้องคิดในเชิงทฤษฎีควอนตัม  ความคิดที่น่าประหลาด (สำหรับคนอื่น)
ของเขาก็คือ  การอธิบายสถานะพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องและไม่ขึ้นกับเวลาของอิเล็กตรอนในอะตอม (ซึ่งหมายถึง ความมี
เสถียรภาพในอะตอมของโบร์ นั่นเอง)  ต้องมี เงื่อนไขทางควอนตัม ที่สำคัญยิ่งอย่างหนึ่ง คือ   กล่าวคือ
        โดย        เป็นจำนวนจินตภาพ          (เขาคิดได้ไง ??!!)

ผลคูณ pq ไม่เท่ากับ qp ข้างต้นซึ่งไม่เป็นตามกฎการสลับที่พื้นฐานของการคูณ เป็นสมบัติอย่างหนึ่งของเมทริกซ์นั่นเอง

ในเดือนกรกฎาคมปีเดียวกัน ผลงานชิ้นนี้ของไฮเซนเบิร์กถูกส่งให้ มักซ์ บอร์น ศาสตราจารย์ทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์
ชาวยิว ที่เมืองก็อตติงเกน พิจารณาและวิจารณ์  บอร์นพบว่า สัญลักษณ์การคูณของไฮเซนเบิร์กจะเป็นอะไรอย่างอื่นไม่ได้
นอกจากการคำนวณแบบเมทริกซ์ ที่บอร์นเชี่ยวชาญเป็นอย่างดี บอร์นกำลังจะเปลี่ยนทฤษฎีของไฮเซนเบิร์กให้เป็นภาษา
เมทริกซ์ !  
จากความคิดของไฮเซนเบิร์กที่ว่า อิเล็กตรอนเป็นคลื่นสสาร เคลื่อนที่ในลักษณะห่อคลื่น แปลว่า โมเมนตัม p(t) และ การ
กระจัด q(t) ต้องสั่นด้วยความถี่หลายๆค่า บอร์นจึงเสนอว่า หากต้องการค่าความถี่และความเข้มของเส้นสเปกตรัมที่ถูกต้อง
p(t) และ q(t) ต้องแทนด้วยเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่จำกัด และผลคูณระหว่าง p(t) กับ q(t) ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขทางควอนตัม
ตามที่ไฮเซนเบิร์กเสนอ กล่าวคือ       โดย  I  แทน เมทริกซ์หนึ่งหน่วยที่มีลักษณะดังนี้
                  

นั่นเป็นเพียงความคิดของไฮเซนเบิร์ก เป็นความคิดเชิงคณิตศาสตร์ที่แทนตัวเลขด้วยเมทริกซ์ซึ่งเป็นนามธรรม ไม่รู้ว่าจะ
อธิบายให้คนอื่นมองเห็นภาพได้อย่างไรว่า ตำแหน่งสเปกตรัมที่วัดได้จริง กับค่าที่ได้จากการคำนวณโดยอาศัยเงื่อนไข
ทางควอนตัมของเขาตรงกันหรือไม่ เพราะ สูตรที่ใช้ในการคำนวณของไฮเซนเบิร์กติดค่า i  ซึ่งเป็นจำนวนจินตภาพ ไม่ใช่
จำนวนจริงที่ทุกคนคุ้นเคยตั้งแต่สมัยเป็นนักเรียนชั้นประถม ความคิดดังกล่าวก็เป็นแค่ความคิด! ไม่มีใครรู้ความหมายเชิง
ฟิสิกส์ที่แท้จริงของหลักการสลับที่ไม่ได้ดังกล่าวข้างต้น
เป็นไปได้ไหมที่จะตีความว่า ลำดับของการวัดค่าทั้งสองมีความสำคัญต่อผลที่สังเกตได้ ?
เป็นไปได้ไหมที่จะตีความว่า วิธีการวัดเป็นเรื่องที่ต้องระมัดระวังอย่างยิ่งยวด ?

ในช่วงหยุดเทศกาลคริสตมาสปีเดียวกัน เออร์วิน ชเรอดิงเงอร์ นักคณิตศาสตร์ฟิสิกส์ชาวออสเตรีย เป็นคนหนึ่งในบรรดา
นักฟิสิกส์ชั้นนำของโลกอีกหลายคนที่เกลียดทฤษฎีกลศาสตร์เมทริกซ์ของไฮเซนเบิร์กซึ่งปราศจากคำอธิบายอย่างเป็น
รูปธรรมและเต็มไปด้วยความซับซ้อนของตัวเลขแบบเมทริกซ์ทางคณิตศาสตร์ เหตุการณ์สำคัญทางกลศาสตร์ควอนตัม
ได้กำเนิดขึ้นในระหว่างที่ชเรอดิงเงอร์กำลังดูดดื่มกับบรรยากาศสุดแสนโรแมนติกกับคู่รักของเขาในโรงแรมหรูแห่งหนึ่ง
ของออสเตรีย (เขาได้ชื่อว่าเป็นอัจฉริยะและนักรักตัวยงคนหนึ่ง ไม่รู้ว่าพอเทียบกับขุนแผนของเราได้หรือเปล่า ?)
เหตุการณ์ที่ว่า คือ ชเรอดิงเงอร์ได้เกิดจินตนาการใหม่เกี่ยวกับสภาวะของอิเล็กตรอนในอะตอมตามทฤษฎีของโบร์ (หลังจาก
ใช้เวลาศึกษาและครุ่นคิดกับทฤษฎีคลื่นอิเล็กตรอนของเดอเบรยมาระยะหนึ่ง) จนกระทั่งหลังจากเสร็จสิ้นเทศกาลคริสตมาส
ในปีนั้น คือ ในเดือนมกราคม ค. ศ. 1926 เขาได้เสนอทฤษฎีใหม่เกี่ยวกับสภาวะของอิเล็กตรอนในอะตอมว่า แต่ละสภาวะ  
(เขา หมายถึง คำเดียวกันกับคำที่โบร์ใช้ในการระบุสภาวะของอิเล็กตรอนในวงโคจร) จะต้องระบุด้วยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
ที่เรียกว่า "ฟังก์ชันคลื่น" แทนด้วยสัญลักษณ์ " "  ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการอนุพันธ์อันดับสองที่ใช้ได้กับระบบทางฟิสิกส์
ใดๆ ที่รู้สูตรพลังงานของอนุภาคในระบบนั้น สมการดังกล่าว เรียกว่า "สมการชเรอดิงเงอร์ " ซึ่งมีรูปแบบสมการดังนี้
             
โดย x แทน ตำแหน่งของอนุภาคใน 1 มิติ,  m  แทน มวลของอนุภาค,  E  แทน พลังงานรวม, V  แทน พลังงานศักย์

ฟังก์ชันคลื่น เป็น ฟังก์ชันที่ขึ้นกับทั้งตำแหน่งและเวลา เป็นที่รวบรวมข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับอิเล็กตรอนเอาไว้ในตัวฟังก์ชัน
ไม่ว่าจะเป็นข้อมูลที่เราแค่รู้จัก แต่ทำการวัดไม่ได้ หรือ ข้อมูลที่สามารถวัดได้ก็ตาม เช่น ข้อมูลเกี่ยวกับพลังงาน โมเมนตัม
ตำแหน่ง เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันคลื่นเป็นเพียงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากจินตนาการของชเรอดิงเงอร์ ที่
อาศัยพื้นฐานแนวคิดของโจเซฟ ฟูริแอร์ ที่ว่า ฟังก์ชันแบบคาบใดๆ  f(t) สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกอนุกรมอนันต์ของ
ฟังก์ชันฮาร์โมนิกอย่างง่าย โดยชเรอดิงเงอร์คิดว่า สถานะพลังงานในอะตอมจะต้องสัมพันธ์กับสภาวะทางธรรมชาติของ
อะตอมซึ่งมีการสั่นตลอดเวลาด้วยความถี่ค่าต่างๆ ดังนั้น ฟังก์ชันคลื่นที่เขาเสนอจึงเป็นฟังก์ชันแบบคาบที่สามารถนำแนวคิด
ของฟูริแอร์มาประยุกต์ใช้ได้

ผลเฉลยของสมการชเรอดิงเงอร์ทำนายผลการทดลองผิดพลาด
ลองนึกภาพการทดลองระดมยิงอิเล็กตรอนไปยังฉากกั้นที่ทำเป็นตะแกรงตาข่ายลวดซึ่งต่อกับแบตเตอรีที่รู้ค่าความต่างศักย์
ตามความคิดของคนทั่วไป ถ้าพลังงานของอิเล็กตรอนสูงกว่าพลังงานของฉากกั้น แน่นอนว่าอิเล็กตรอนควรจะวิ่งทะลุฉากได้
ถ้าพลังงานของอิเล็กตรอนต่ำกว่าพลังงานของฉากกั้น แทนที่จะทะลุฉาก อิเล็กตรอนควรสะท้อนกลับมาทางด้านหน้าของฉาก
แต่ความเป็นจริงไม่ได้เป็นแบบที่คิด ผลจากการสังเกต พบว่า แม้ฉากกั้นซึ่งกำลังถูกระดมยิงอยู่นั้นมีพลังงานสูงกว่าพลังงาน
ของอิเล็กตรอน กลับพบว่า อิเล็กตรอนบางส่วนสามารถวิ่งทะลุฉากได้ บางส่วนสะท้อนกลับ !!
หากนำผลเฉลยของสมการชเรอดิงเงอร์ คือ ฟังก์ชันคลื่น มาอธิบายผลการทดลองนี้ ก็ต้องอธิบายว่า บางส่วนของคลื่นเคลื่อน
ที่ทะลุผ่านฉากกั้นออกไปได้ ในขณะที่บางส่วนสะท้อนกลับ ซึ่งเป็นการตีความที่แปลกประหลาดพิศดาร ไม่น่าเป็นไปได้สำหรับ
อิเล็กตรอนที่จะมีสภาวะดังกล่าว นี่คือ ความผิดพลาดของผลเฉลยของสมการชเรอดิงเงอร์ !!

การตีความแบบความน่าจะเป็นของฟังก์ชันคลื่นตามแนวคิดของมักซ์ บอร์น
แม้สามารถใช้ฟังก์ชันคลื่นของชเรอดิงเงอร์เพื่อระบุสภาวะของอิเล็กตรอนในอะตอมได้ แต่การอธิบายข้อมูลต่างๆเกี่ยวกับ
อิเล็กตรอนภายในอะตอมในสภาวะหนึ่งๆ ไม่สามารถใช้ฟังก์ชันคลื่นตามลำพังมาอธิบายได้โดยตรง ดังตัวอย่างความล้มเหลว
ที่กล่าวแล้วข้างต้น บุคคลสำคัญที่เสนอแนวคิดอันโด่งดังเพื่ออธิบายข้อมูลดังกล่าวและี่ได้รับการยอมรับจนกระทั่งปัจจุบัน คือ
มักซ์ บอร์น (คนเดียวกันกับคนที่วิจารณ์กลศาสตร์เมทริกซ์ ของไฮเซนเบิร์ก)  เขาเขียนรายงานในช่วงฤดูร้อนปีเดียวกับปีที่
ชเรอดิงเงอร์เสนอสมการชเรอดิงเงอร์ เกี่ยวกับปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นหลังจากอิเล็กตรอนถูกชนว่า ถ้าเริ่มต้นจากอิเล็กตรอน
อยู่ในสภาวะ   หลังจากถูกชน อิเล็กตรอนจะเปลี่ยนทิศทางโดยกระเจิงไปสู่สภาวะ     การคงอยู่ของแต่ละสภาวะจะต้อง
ระบุด้วยค่าความน่าจะเป็นค่าหนึ่ง ที่เรียกว่า ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density)  ซึ่งแสดงถึง โอกาส
ที่จะพบอิเล็กตรอนตรงสภาวะนั้นๆ  ค่าความน่าจะเป็นนี้หาได้จากการนำฟังก์ชันคลื่นมายกกำลังสองแล้วทำให้เป็นค่าสัมบูรณ์
แทนด้วยสัญลักษณ์ โดย   แทนแอมพลิจูดของความน่าจะเป็น (ดังนั้น บางทีเราเรียกฟังก์ชันคลื่นว่า แอมพลิจูดของ
ความน่าจะเป็น)
ในกรณีไฮโดรเจนอะตอม จะพบว่า ค่า มีค่ามากหรือหนาแน่นมากตรงบริเวณวงโคจรตามทฤษฎีของโบร์  หากแก้สมการ
ชเรอดิงเงอร์ ก็จะสามารถคำนวณหาค่ารัศมีวงโคจรได้
โดยทั่วไปสำหรับอนุภาคใดๆ เราอาจเขียนแนวคิดของบอร์นเพื่อแสดงค่าความน่าจะเป็นเชิงควอนตัมของผลลัพธ์เฉพาะ
บางอย่าง ซึ่งแทนด้วย  P (ผลลัพธ์เฉพาะบางอย่าง)  เขียนเป็นสมการได้ว่า
  P(ผลลัพธ์เฉพาะบางอย่าง)  (ผลลัพธ์เฉพาะบางอย่าง) 

สมการนี้ถือได้ว่า เป็นการค้นพบทางกลศาสตร์ควอนตัมครั้งยิ่งใหญ่ เพราะความหมายของมันเท่ากับ บอร์นประกาศว่า
"เบื้องหลังสิ่งที่เราวัดทั้งหลายภายใต้โลกใบนี้ มีโลกของความน่าจะเป็นถูกซุกซ่อนไว้เสมอ"

คลื่นชเรอดิงเงอร์กับคลื่นเดอเบรยเหมือนกันหรือไม่
ที่จริงแล้ว คลื่นทั้งสองเป็นคลื่นแบบเดียวกัน มีรากฐานแนวคิดเหมือนกัน กล่าวคือ เป็นห่อคลื่นที่เกิดจากการรวมกันของคลื่น
บริสุทธิ์ที่มีความถี่ต่างๆ เพียงแต่ว่า คลื่นชเรอดิงเงอร์ช่วยขยายความให้กับคลื่นเดอเบรย โดยให้ความหมายเพิ่มเติมเกี่ยวกับ
ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคตรงสภาวะที่สนใจ เราจึงเรียกคลื่นแบบนี้ว่า คลื่นความน่าจะเป็น ซึ่งมีลักษณะต่างจากคลื่นทั่วไป
ที่เรารู้จัก เช่น คลื่นเสียง คลื่นน้ำ ที่ต้องอาศัยตัวกลางช่วยในการเคลื่อนที่  ในกรณีคลื่นเสียงต้องอาศัยโมเลกุลอากาศ
ส่วนคลื่นน้ำต้องอาศัยโมเลกุลน้ำ เป็นต้น สำหรับคลื่นความน่าจะเป็น ไม่จำเป็นต้องอาศัยตัวกลางใดๆในการเคลื่อนที่

ความหมายทางกายภาพของฟังก์ชันคลื่น(คลื่นความน่าจะเป็น)
ดังที่กล่าวแล้วว่า คลื่นความน่าจะเป็นของอนุภาคควอนตัมต่างจากคลื่นทั่วไปเชิงฟิสิกส์ดั้งเดิม สิ่งที่เหมือนกันมีอยู่อย่างเดียว
คือ มันมีลักษณะกระจายออกไปเป็นบริเวณกว้าง หากอาศัยการตีความแบบความน่าจะเป็นของฟังก์ชันคลื่นตามแนวคิดของ
มักซ์ บอร์น เราสามารถอธิบายได้ว่า คลื่นความน่าจะเป็นมีสมบัติแตกต่างโดย สิ้นเชิงจากคลื่นทั่วไปอย่างไร ดังนี้

พิจารณาสภาวะทางควอนตัมของอนุภาคตัวหนึ่ง ณ เวลาขณะใดขณะหนึ่ง ตามทฤษฎีของชเรอดิงเงอร์ เราจะต้องระบุสภาวะ
ของอนุภาคตัวนั้นด้วย   ทันทีที่เราทำการวัดตำแหน่ง (ทำการสังเกต) โดยพูดว่า “อนุภาคอยู่ ณ ตำแหน่ง x  ที่ทราบค่า
แน่นอน”  ผลที่เกิดขึ้นทันทีทันใด ก็คือ ค่า    ณ ตำแหน่งอื่นๆ นอกจากตำแหน่ง x จะเป็นศูนย์ทันที (เรียกว่า เกิดปรากฏ
การณ์ฟังก์ชันคลื่น “ยุบตัว”)  เพราะการพูดแบบนี้ เท่ากับว่าเรากำลังระบุว่า ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาค ณ ตำแหน่ง  x  มี
ค่าเท่ากับ 1 ส่วนที่ตำแหน่งอื่นๆ จะไม่มีโอกาสพบอนุภาคเลย (ค่าความน่าจะเป็นรวมต้องไม่เกิน 1)  นั่นคือ เราจะไม่มีวันรู้
ข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับอนุภาค ณ ตำแหน่งอื่น  แปลความได้ง่ายๆว่า ถ้าไม่ต้องการให้เกิดเหตุการณ์ฟังก์ชันคลื่น "ยุบตัว"
เราต้องไม่ระบุตำแหน่งที่แน่นอนของอนุภาค  เราจะระบุได้แต่เพียงว่า ความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาค ณ ตำแหน่ง x มีค่า
เท่าใด ซึ่งเท่ากับว่า เป็นการยอมรับว่ามีความไม่แน่นอนของการวัด สอดคล้องกับหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก นั่นเอง 
การตีความเกี่ยวกับการยุบตัวของฟังก์ชันคลื่นนี่เอง เป็นที่มาของการโต้เถียงที่หาคำตอบที่ชัดเจนไม่ได้เกี่ยวกับปรากฏการณ์
พิศวง “แมวของชเรอดิงเงอร์” อันโด่งดัง!!